J = ò r˛ dm

kde r je vzdálenost hmotného elementu dm od osy otáčení. Integrujeme přes celou hmotnost tělesa m. Z tohoto vztahu je zřejmé, že moment setrvačnosti tělesa závisí jen na jeho hmotnosti a na jejím rozložení vůči ose otáčení. Každý hmotnostní element přispívá k celkovému momentu setrvačnosti úměrně čtverci své vzdálenosti od osy. Jednotkou momentu setrvačnosti v soustavě SI je kg m˛.

J = ò r r˛ dV

kde r je měrná hmotnost daného tělesa, r je proměnná vzdálenost objemového elementu dV od osy otáčení. Po výpočtu tohoto integrálu se problém určení momentu setrvačnosti redukuje na zjištění hmotnosti tělesa a změření jeho geometrických rozměrů. Přesnost metody je dána přesností vážení a měření rozměrů tělesa a potom tím, jak dalece odpovídá reálný tvar tělesa předpokládanému geometrickému tvaru. Pro výpočet momentu setrvačnosti tělesa hmotnosti m vzhledem k ose, která je rovnoběžná s osou procházející jeho hmotným středem a je od ní vzdálena o vzdálenost d, užijeme Steinerovy věty:

J = Jo + m d˛

T = 2 p Ö ( J / m g d )

kde m je hmotnost tělesa, g je tíhové zrychlení, d vzdálenost osy otáčení od hmotného středu a J moment setrvačnosti tělesa vzhledem k této ose. Z této rovnice pro hledaný moment setrvačnosti dostáváme vztah:

J = T˛ m g d / 4 p ˛

Touto metodou můžeme určit moment setrvačnosti tělesa Jo vzhledem k ose procházející hmotným středem rovnoběžně s osou kolem níž těleso kývá, použijeme-li Steinerovy věty. Moment setrvačnosti Jo je pak určen vztahem:

Jo = J - m d˛

Vyšetřované těleso necháme kývat kolem osy. Pro dobu kmitu platí:

T = 2 p Ö ( J / m g d )

K měřenému tělesu přidáme přívažek o hmotnosti m1 jednoduchého tvaru, u něhož známe přesně polohu hmotného středu a dovedeme vypočítat jeho moment setrvačnosti k ose, která jím prochází. Přívažek připevníme k tělesu tak, aby vzdálenost hmotného středu přívažku od osy otáčení byla a1. Tato soustava bude kmitat s dobou kmitu

T1˛ = 4 p ˛ Js / M g x

Js = J + J1 + M a1˛

a vzdálenost x osy otáčení soustavy od jejího hmotného středu můžeme vyjádřit vztahem

x = ( m d + m1 a1 ) / ( m + m1 )

J = T˛ (J1 + m1 a1˛ + m1 a1 g T1˛ / 4 p ˛ ) / ( T1˛ - T˛ )

Tato metoda umožňuje měřit moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející jeho hmotným středem.

T = 2 p Ö ( J / D )

kde D je direkční moment vlákna, který závisí na modulu pružnosti ve smyku G a na geometrických rozměrech drátu. Určení veličiny D je obtížné a proto se snažíme ji při měření vyloučit. Jedna z možností je taková, že necháme na témže drátu kmitat těleso, jehož moment setrvačnosti Jo je známý. Doba kmitu pak je

To = 2 p Ö ( Jo / D )

Srovnáním těchto dvou rovnic dostaneme vztah pro hledaný moment setrvačnosti ve tvaru

J = Jo T˛ / To˛

Druhou možností, jak vyloučit veličinu D , je měření pomocí přívažku o známém momentu setrvačnosti Jp, který je symetricky rozložen kolem osy torzních kmitů. Nejprve změříme dobu kmitu tělesa o neznámém momentu setrvačnosti J. Potom k tělesu přidáme přívažek a soustavu necháme opět vykonávat torzní kmity, tentokrát s dobou kmitu

Ts = 2 p Ö ( Js / D )

kde Js je moment setrvačnosti soustavy a platí pro něj:

Js = J + Jp

J = Jp T˛ / ( Ts˛ - T˛ )

Používaný přívažek má obvykle tvar válečku či prstence symetricky rozloženého kolem torzní osy. Při měření momentu setrvačnosti touto metodou musíme dbát na to, aby rozdíl dob kmitů Ts - T byl dostatečně velký.

Poloměr disku : R = ( 15,20 ± 0,01 ) cm

d R = 0,1 %

Hmotnost disku : m = ( 0,593 ± 0,001 ) kg

d m = 0,2 %

J = m R˛ / 2

Absolutní chybu určíme ze zákona šíření chyb podle vzorce :

Moment setrvačnosti disku je tedy : J = ( 3,84 ± 0,02 ) 10 kg m˛

d J = 0,3 %

Hmotnost přívažku : mp = ( 0,153 ± 0,001 ) kg

d mp = 0,7 %

Poloměr přívažku : rp = ( 1,550 ± 0,005 ) cm

d rp = 0,3 %

J = m R˛ / 2

Moment setrvačnosti samotného přívažku je tedy : J1 = ( 1,83 ± 0,02 ) 10 kg m˛

d J1 = 1,1 %

Vzdálenost osy přívažku od osy rotace disku : d = ( 14,00 ± 0,01 ) cm

d d = 0,1 %

J = Jp T˛ / ( Ts˛ - T˛ )

kde Jp je moment setrvačnosti přívažku vzhledem k ose rotace disku, vypočítat moment setrvačnosti disku.

Moment setrvačnosti přívažku vzhledem k ose rotace disku je : Jp = J1 + mp d˛

Jp = ( 3,02 ± 0,04 ) 10 kg m˛

d Jp = 1,3 %

Moment setrvačnosti disku je : J = ( 3,68 ± 0,44 ) 10 kg m²

d J = 12 %

3. Metodou dynamickou

Hmotnost disku je m = ( 0,593 ± 0,001 ) kg

d m = 0,2 %

Podle vzorce :

J = T˛ m g d / 4 p ˛

a Jo = J - m d˛

jsme vypočítali moment setrvačnosti Jo vzhledem k ose procházející hmotným středem tělesa a moment setrvačnosti disku vzhledem k ose okolo které těleso kývá.

Hmotnost nepravidelného tělesa : m = ( 0,271 ± 0,001 ) kg

d m = 0,4 %

Vzdálenost osy přívažku od osy kmitání :

a1 = ( 12,110 ± 0,005 ) cm

d a1 = 0,05 %

Moment setrvačnosti přívažku vzhledem k ose procházející jeho středem je :

J1 = ( 1,83 ± 0,02 ) 10 kg m˛ d J1 = 1,1 %

přičemž jeho hmotnost je :

m1 = ( 0,153 ± 0,001 ) kg

d m1 = 0,7 %

Ze vzorce :

J = T˛ (J1 + m1 a1˛ + m1 a1 g T1˛ / 4 p ˛ ) / ( T1˛ - T˛ )

můžeme nyní vypočítat moment setrvačnosti nepravidelného tělesa J.

J = ( 0,0024 ± 0,0009 ) kg m˛

d J = 37,5 %

Výsledné momenty setrvačnosti zjištěné metodou :

přímou

J = ( 3,84 ± 0,02 ) 10 kg m˛

d J = 0,3 %

torzních kmitů

J = ( 3,6 ± 0,4 ) 10 kg m˛

d J = 12 %

dynamickou

J = ( 6,6 ± 0,7 ) 10 kg m˛

d J = 11 %

dynamickou s přívažkem pro nepravidelné těleso

J = ( 0,0024 ± 0,0009 ) kg m˛

d J = 37,5 %

Z naměřených hodnot vidíme, že se jako nejpřesnější jeví metoda přímá, která je nejméně závislá na náhodných vlivech ovlivňujících měření. Nepřesnost měření časových intervalů pomocí ručních stopek způsobila velké rozdíly hodnot u metody torzních kmitů a metody dynamické. Metodou dynamickou s přívažkem jsme pro nepravidelné těleso změřili moment setrvačnosti s reletivní chybou 37,5 % . Pokud bychom chtěli dosáhnout menší chyby, museli bychom zpřesnit měření kmitavého pohybu disku.