V této úloze budeme měřit Youngův modul pružnosti tyče s obdélníkovým průřezem z jejího průhybu při zatěžování. Dále změříme Youngův modul pružnosti drátu přímou metodou. Výsledky porovnáme s tabulkovými hodnotami.

D l = k l F / S

kde k = 1 / E a F / S je napětí v tahu ( normálové napětí ), které označíme s n. E označuje tzv. Youngův modul pružnosti v tahu ( materiálová charakteristika dané látky vzhledem k deformaci v tahu ). Označme

e podíl D l / l , který nazveme relativním prodloužením. Předchozí rovnici pak můžeme psát ve tvaru

e E = s n

Tento vztah je zápisem Hookova zákona ( relativní prodloužení je přímo úměrné napětí v tahu ).

Homogenní tyč obdélníkového průřezu z materiálu o modulu pružnosti E je podepřena ve dvou místech vzdálených od sebe o l . Působením síly F dojde k průhybu tyče o hodnotu y ( působiště síly je symetricky položeno vzhledem k poloze břitů, na kterých tyč leží ) , pro kterou platí :

y = F l ł / 48 E I p

E v tomto vztahu je hledaným modulem pružnosti. I p je tzv. plošný moment setrvačnosti průřezové plochy tyče vzhledem k ose jdoucí jejím středem. Pro tyč obdélníkového průřezu je

I p = ał b / 12

E = F l ł / 4 y ał b

Tento vztah je použitelný pro zjištění modulu pružnosti E. Hodnoty l , a , b zjistíme délkovým měřením ( nutno uvážit volbu měřidel tak, aby přesnost byla v obou případech stejná ) . Síla F může být realizována zavěšením závaží o tíze G ( budeme provádět několik měření s postupným zvyšováním počtu závaží ) . Hodnoty y jsou poměrně malé. Pro jejich měření použijeme indikátorových hodinek upevněných ve stojanu tak, že při nezatížené poloze tyče ukazují výchylku n o. Při zatěžování tyče se údaj na hodinkách mění až na hodnotu n. Průhyb y je :

y = | n o - n |

V této úloze budeme měřit prodloužení drátu při jeho zatěžování. Změříme průměr a délku drátu a pomocí indikátorových hodinek i jeho prodloužení. Sílu, která na něj působí stanovíme ze znalosti hmotnosti závaží, kterým drát zatěžujeme, a tíhového zrychlení v místě laboratoře.

D l = k l m g / S

kde k = 1 / E, D l je prodloužení drátu způsobené silou m g , l je délka drátu a S jeho průřez.

Nejprve změříme rozměry tyče z mosazi. Centimetrovým měřidlem změříme její délku l a posuvným měřítkem změříme její horizontální a vertikální průměr b a a . Potom budeme indikátorovými hodinkami měřit výchylku tyče při přidávání a následovně pro ubírání závaží. Z těchto hodnot vypočteme aritmetický průměr a ten pak použijeme při sestavení grafu. Metodou nejmenších čtverců proložíme body grafu přímku a ze vzorce R = Ö [ ( å ( s i - y i )˛ ) / n ] vypočteme chybu proložení přímky a následovně chybu měření. V této rovnici s i značí ypsilonovou souřadnici bodu a y i ypsilonovou souřadnici jemu odpovídajícímu bodu na přímce (viz. graf ), n je počet měření.

V této tabulce l 1 značí výchylku tyče při přidávání závaží a l 2 výchylku při jeho ubírání. Hodnota l je potom aritmetickým průměrem těchto dvou hodnot.

a = ( 12,00 ± 0,01 ) mm

d a = 0,1 %

b = ( 12,00 ± 0,01 ) mm

d b = 0,1 %

l = ( 901 ± 0,5 ) mm

d l = 0,06 %

E = F l ł / 4 y ał b

E = ( 101,2 ± 0,2 ) · 10 N / m˛

d E = 0,15 %

å x i˛ k + å x i q = å x i y i

å x i k + n q = å y i

kde x i je nezávisle proměnná ( x-ová souřadnice i-tého bodu ) a y i její funkční hodnota. Řešením získáme koeficienty k a q, které dosadíme do směrnicového tvaru rovnice přímky ( y = k x + q ).

Poloměr drátu r = ( 0,250 ± 0,003 ) mm

d r = 1,2 %

Délka drátu l = ( 1567 ± 2 ) mm

d l = 0,13 %

Průměrná hmotnost jednoho závaží D m = ( 112,88 ± 0,05 ) g

d D m = 0,05 %

Průměrné prodloužení způsobené jedním závažím y = ( 50 ± 10 ) m m

d y = 20 %

E = l F / p r˛ y

E = ( 177 ± 9 ) GN / m˛

d E = 20 %

Chybu tohoto měření jsme určili ze zákona šíření chyb podle vzorce :

Změřili jsme Youngův modul pružnosti mosazné tyče metodou měření jejího průhybu.

E = ( 101,2 ± 0,2 ) · 10 N / m˛

d E = 0,15 %

Tabulková hodnota je 100 - 110 GN / m˛.

Myslím si, že jsme za daných podmínek dospěli k dobré shodě měření s tabulkovou hodnotou.

U ocelového drátu jsme naměřili hodnotu E :

E = ( 177 ± 9 ) GN / m˛

d E = 20 %

Tabulková hodnota je 220 GPa. Zde však bylo měření zatíženo mnoha chybami, které pramenily z velké nepřesnosti měření indikátorovými hodinkami způsobené nedokonalým přiléháním k závaží a ze zadrhávání při měření, a z vnějších vlivů. Například změna teploty o jeden stupeň způsobí prodloužení drátku o 18 m m.