V této úloze budeme měřit tepelnou kapacitu elektrického kalorimetru. V elektrickém kalorimetru dále ohřejeme průchodem proudu destilovanou vodu, vypočítáme energii dodanou do kalorimetru a srovnáme se změnou tepelné energie kapaliny.

V elektrickém kalorimetru dodáváme teplo přeměnou elektrické energie na tepelnou pomocí topné spirály, kterou prochází elektrický proud. V tom spočívá podstatný rozdíl oproti směšovacímu kalorimetru, do kterého dodáváme teplo po krátkou dobu, zatímco do elektrického kalorimetru dodáváme teplo postupně, což komplikuje zpracování měření, protože se zde během měření projeví nedokonalá izolace kalorimetru od okolí.

Qd – teplo dodané do kalorimetru. Předpokládáme, že topná spirála je odporová zátěž. Pak platí:

Qd = U I t

Qv – teplo odevzdané měřenému objektu, v našem případě kapalině o hmotnosti m a měrném teple c. Počáteční teplotu kapaliny označme tp a výslednou teplotu ( po uplynutí času t ) tk.

Qv = m c ( tk – tp )

Qk – teplo odevzdané do kalorimetru. Předpokládáme, že kalorimetr je v tepelné rovnováze s měřenou kapalinou, takže na začátku pokusu má teplotu tp a na konci teplotu tk.

Qk = K ( tk – tp )

kde K je tepelná kapacita kalorimetru.

Qo – teplo odevzdané okolí kalorimetru díky nedokonalé tepelné izolaci měřené kapaliny. Předpokládejme, že se teplo do okolí předává pouze vedením ( za běžných podmínek je tento předpoklad dobře splněn ), pak platí:

dQo / dt = b ( t – to )

kde konstanta b charakterizuje tepelnou vodivost materiálu kalorimetru a jeho rozměry. Teplota to je teplota okolí kalorimetru a teplota t je teplota měřené kapaliny.

Podle zákona zachování energie musí platit:

Qv + Qk + Qo = Qd

m c ( tk – tp ) + K ( tk – tp ) + ò b ( t – to ) dt = U I t

°

Kapacitu elektrického kalorimetru lze změřit stejným způsobem jako kapacitu směšovacího kalorimetru, tj. smícháním kapaliny o hmotnosti m 1 a teplotě t 1 a kapaliny o hmotnosti m 2 a teplotě t 2 . Proces výměny tepla je velmi rychlý, proto zanedbáme odvod tepla do okolí.

Z kalorimetrické rovnice dostaneme: K = [ c m 2 ( t 2 – t ) – c m 1 ( t – t 1 )] / ( t – t 1 ).

Pro výpočet kapacity K bychom potřebovali znát měrné teplo kapaliny c, což ale má být výsledek celého měření. Proto zavedeme tzv. redukovanou tepelnou kapacitu kalorimetru k = K / c .

t

c ( m + k ) ( tk – tp ) + ò b ( t – to ) dt = U I t

°

c ( m + k ) dt + b ( t – to ) dt = U I dt

Naším úkolem je stanovit koeficient b . Tento koeficient popisující vedení tepla přes stěny kalorimetru bude záviset na velikosti plochy, přes kterou je vedeno teplo a tedy i na množství kapaliny v kalorimetru.

Proto musíme experiment na stanovení hodnoty b provádět se stejným množstvím kapaliny jako vlastní měření měrného tepla. Nejlepším řešením je spojení těchto experimentů dohromady, což lze provést různými způsoby.

Druhá metoda využívá chladnutí měřené kapaliny. Pokud má kapalina větší teplotu, než je teplota okolí to a topnou spirálou neprochází proud, teplota kapaliny se snižuje díky odvodu tepla z kalorimetru. Z rychlosti chladnutí lze určit koeficient b . Bez dodávání tepla má kalorimetrická rovnice tvar:

c ( m + k ) dt + b ( t – to ) dt = 0

což je diferenciální rovnice pro funkci t(t ). Tuto rovnici lze řešit separací proměnných. V čase 0 označíme teplotu kapaliny t 3 a v čase t teplotu t 4. Výsledkem je:

b = [ (m+k ) c/t ] ln[ ( t 3 – t 0 ) / ( t 4 - t 0 )]

Vidíme, že nastala podobná situace, jako v případě měření tepelné kapacity kalorimetru : k výpočtu bychom potřebovali znát měrné teplo kapaliny, které máme stanovit. Zavedeme proto nový koeficient c :

c = b / c

Opět vyjdeme z kalorimetrické rovnice, kam dosadíme hodnotu c .

c ( m + k ) dt + c c ( t – to ) dt = U I dt

c = [ U I ( 1 – X )] / [ c ( t k – t o – ( t p – t o) X )]

kde X = exp [ - c t / (m + k )] . Kdosažení požadované přesnosti musíme zvolit dostatečně dlouhou dobu t